2차 방정식의 해(혹은 근)을 구하는 방법은 크게 두 가지입니다.
- 인수분해를 잘 해서 $(ax-b)(cx-d) = 0$ 형태로 만든 후 $ax-b=0$ 혹은 $cx-d=0$에서 답을 얻는 방법
- 제곱꼴 $(x-b)^2 = c$ 로 만들어서 $x-b = \pm \sqrt{c}$ 에서 답을 얻는 방법
둘 중에 근의 공식은 두 번째에서 유도합니다.
각 경우에 대해서 예를 들어볼게요.
인수분해로 풀기
한 번 풀어볼까요.
아직까지는 할 만한 것 같아요. 이건 어떨까요?
식에 사용된 숫자가 소인수분해하기 좋은 숫자이면, 다항식 인수분해도 쉽게 됩니다. 이런 종류의 문제들은 인수분해로 푸는 게 훨씬 쉽습니다.
하지만, 조금만 복잡해져도 인수분해가 어려워지기 시작합니다.
??!
찾으셨나요? 이라는 걸 알아야 문제를 풀 수 있습니다.
쉽게 풀 수 있게 간단한 숫자만 들어간 문제가 자주 나와서 그렇지 인수분해라는 게 원래는 어려운 겁니다. 특히, 값이 큰 소수(big prime number)의 곱으로 만들어진 숫자가 식에 들어가면 인수(factor)를 찾아낼 수가 없어서 고생하게 되어 있습니다. 얼마나 어려운 작업이냐 하면, 심지어 컴퓨터도 잘 못합니다. 진짭니다 그래서 현대암호학에서는 아주 큰 소수의 곱을 이용해서 데이터를 암호화하기도 합니다. 수퍼 컴퓨터로 돌려도 답이 안 나오죠
계수가 정수나 유리수가 아닌 경우는 더 복잡해집니다. 이렇게요
물론 윗 문제도 인수분해할 수 있습니다. 딱 떨어지는 숫자가 머릿속에 잘 안 떠오를 뿐이에요
숫자가 딱 떨어지게 잘 나와주면 인수분해로 푸는 것 만큼 직관적이고 쉬운 방법도 없지만, 좀 더 일반적인이라고 쓰고 마음대로라고 읽음 숫자로 된 문제가 나오면 인수분해로는 더 이상 진행할 수 없게 되지요.
그럼 좀 더 일반적인 문제에 대한 해법으로 넘어가 봅시다.
제곱꼴로 풀기
제곱꼴을 이용해서 답을 내기 전에 가장 기본적인 것부터 훑어봅시다.
제곱해서 a가 되는 숫자 중에 양수를 로 쓰기로 약속했습니다. 더 이상 토를 달 여지가 없어요.
그러한 숫자 중에서 특히하게 딱 떨어지는 숫자들이 있는데, 예를 들어 와 같은 것이죠.
다음 문제를 한 번 볼까요.
여기서 만약 $x$를 구하라고 한다면?
헛갈리지 마세요. 윗 식에서 $x$는 제곱을 해서 $a$가 되는 수입니다.제곱을 해서 a가 되는 수 중에 양수가 아니에요 $\sqrt{a}$의 뜻이 제곱을 해서 $a$가 되는 수 중에 양수이므로, $x$는 그런 숫자 하나랑 그 반대부호를 가지는 숫자 하나를 가져야 하겠죠
이제 안 헛갈리시죠? 그럼 본격적으로 제곱꼴로 답을 내는 방식을 알아봅시다.
이건 쉽죠? 그럼 이건 어떤가요?
을 한 덩어리로보면
이것도 쉬운 것 같습니다. 아쉬운 소식은 저렇게 제곱꼴로 미리 만들어서 우리에게 주어지지는 않지요. 보통은 다 전개된 것이 주어집니다. 윗 식을 전개해서 다시 써 보면,
감이 오시겠지만, 앞의 인수분해 단락에 나오는 첫번째 문제랑 정확하게 같은 식입니다. 같은 문제를 인수분해로 풀든 제곱꼴 변형으로 풀든 같은 답이 나옵니다. 당연하죠. 둘 다 맞는 방법이거든요. 둘 중에서 쉬운 방법을 쓰면 됩니다. 이 경우를 보자면, 저 같으면 인수분해서 바로 풀겠네요. 하지만 제곱꼴로도 풀 수 있다는 사실을 기억해 둡시다.
그럼 연습 삼아, 다 전개된 식을 다시 제곱꼴로 바꾸어볼까요? 제곱꼴로 바꾸는 과정은 2차 방정식이나 2차 함수에서 자주 사용됩니다. 기본 방법은 여기를 참고하시고, 윗 식을 제곱꼴로 바꾸어 봅시다.
모양을 보니 이 들어있어야 제곱꼴이 하나가 나오겠죠. 그러니 저 식을 그냥 밀어 넣고 상수항이 다른 것은 똑같은 상수를 빼 주면서 상쇄시키는 방법Trick에 가깝죠를 사용할 겁니다. 이 경우에는 을 중간에 넣은 셈이 되니 을 뒤에 달아 줘서 원래식과 같게 만듭니다. 이렇게요
제곱꼴이 만들어졌죠? 다시 제곱꼴로부터 해를 구하는 방법을 사용해서 방정식의 해를 찾아내면 됩니다.
근의 공식 유도
제곱꼴로 만들어서 푸는 방식을 연습해 봤으니, 여기서 자연스럽게 유도되는 근의 공식을 만들어 보겠습니다.
일반적인 2차 방정식은 다음과 같이 씁니다.
$a$가 $0$이 되면, 2차항이 없어져서 더 이상 2차 방정식이 아니게 되므로 $a$가 양수라는 조건이 달리게 됩니다.
이제 이 방정식에서 제곱꼴을 찾아보도록 하죠. 왜 하필 양수일까요? 음수이면 안 되나요? 음수도 됩니다. 그런데 왜 하필 양수만 할까요? 그건 나중에 시간 나면 더 이야기해보도록 하죠
우리가 아는 제곱꼴은 $x^2 + 2d + d^2 = (x+d)^2$이니까, $x^2$앞의 계수 $a$가 먼저 눈에 걸립니다. $ax^2 + bx$까지 $a$로 묶어내면
이제 $x^2$ 앞의 계수가 저 멀리 괄호 바깥으로 나가버렸습니다. 그럼 괄호 안에서만 제곱꼴을 찾아주면 되겠죠. $x$의 일차항의 계수인 $\dfrac{b}{a}$의 절반이 제곱꼴을 만들었을 때 괄호 내부의 상수항이 될 겁니다. 우리는
을 사용할 겁니다. 그러면,
중괄호 내부의 상수항만 바깥으로 빼 준 후에 계속 진행해 보면
$a$가 $0$이 아니기 때문에 양변을 $a$로 나눌 수 있습니다.
증명 끝. 한번 손으로 한번만 써 가면서 따라가 봅시다.
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